回复 19楼godisagirl01的帖子我不喜欢新数的原因
是因为觉得它耗费了很多的时间去做计算
计算本身
加减，两位数的加法，会了，其它自然会了，没有必要太多练习
乘除，乘法是多位数与个位数乘法会口算了，那么多位数乘法自然会了
除法，如果建立在，多位数乘个位数能够口算的基础上，从逆运算的角度考虑就可以了。
新数确实适合一步步的走。
我个人不想小孩子用很多的时间去做这样的计算
希望他更多的去思考一些数学基本的问题
高斯有一句话，Mathematics is the queen of science, and arithmetic the queen of mathematics.
Arithmetic当然在被翻译成为数论
其实就是大家说的算术
数论中有很多很好玩东西，
类似 根号2 如何用一个连分数表示，
什么样的数的可以用一个连分数表述等等
我同意计算能力很重要
但是我更希望小孩子能够有时间去看各国的教材
触摸数学本身的东西
而不是做计算
echodrawing 发表于 2020-12-09 12:10
好看，再多分享一些吧。
最出名的立体几何和平面几何是
Jacques Hadamard
出的两本，
MAA重新出版了
Lessons in Geometry I plane Geometry
第二本是 II Solid Geometry
图书馆有以前版本
。。。。。。。
我收的书都比较老，
基本都是成名教授的书，初等数学理论都那么多年了
所以那个领域成名的教材也比较老
老牌的人没有什么花里胡哨的
直接就是证明，概念
适合我用。。。。。
echodrawing 发表于 2020-12-09 12:19:38
谢谢分享， 我也是喜欢老的教科书。非常同意你的观点。
RoseLeigh 发表于 2020-12-09 12:55
马克，数学干货。
回复 61楼twoangles的帖子哎，这是我疑惑的地方
费曼自传中也吐槽过代数这种求解方式。
那样强调过程
其实一种隐性的填空
描述一种数学方法，
1， 希望具有更广实用性。
这种两边同时加，然后同时除的方式
并不适合复杂 例如 3(0.5x+3)- 5(x+3)+19 =6x+7
难不成加，加，减，减，乘，乘几次
从更实用的角度，
应该考虑
如何化作 ax=b （就是目的是这个，而不是过程）
从x的系数和常数项的系数考虑
因为所谓方程的通解
其实都是考虑标准式，各个项式的系数
2. 希望对后面的知识有引导性
比如尽量使用 2x+4=10,
练习写成x=（10-4）/2
但我发觉美国的小孩大部分只熟悉两边同时加减乘除
并不会移项
这对于学理工公式推导造成限制的
——当然很多专业也用写证明和推导
只要知道公式，哪里用什么公式
也就是说，
从数学本身来说，
坚持这样解一元一次方程
只是初步帮助小孩找到一种能够求解的方式
强调过程其实跟小学把加减乘除弄得复杂无比是一样的
对以后的学习没有任何帮助
反而造成限制
我说的推导
是指知识之间构建，然后一步步推演
类似证明两个相邻数的公约数=1
第一步，假设 整数 a， b=a+1有公约数m
第二步，那么存在整数k2>k_1
a=mk1, b=mk2
第三步，
1=b-a=m(k_2-k_1)
且k_2，k_1为整数
所以，m只能是+-1
原结论得证
而不是procedue固定的套路解题步骤
这两个之间有很大的差别。
后者其实是一种隐性的填空
复杂一些的可以说成是一种if-then的隐性填空
只可以帮助小孩养成慢慢写步骤的习惯。
对逻辑思维的养成帮助微小。
echodrawing 发表于 2020-12-09 19:51
太好看了。请mm也推荐一些给成人看的数学书吧。
回复 85楼Scorpius的帖子下面是我看法，不一定是对的
可能是我偏见。。。。。
我不能够明白为什么美国小学要在加减乘除上纠结那么长时间——论年的纠结
然后求加减，还要写从什么方法来的。。。。。
这个如果从以后数学的学习来说
没有任何帮助。。。。。。。
哪怕是是如果教学生
99+99这样巧算，这个算观察数字
但是每个都整个用什么方法求出来
我真的不明白为什么学校要这么做。。。。。。
数字的数学的基础是
进制
就是说理解十进制
以及十进制里面数的计算
为什么那么计算
为什么进位
怎样进位
我个人意见就是
用手指帮助计算1-9的加法
然后练习10以内的加法，减法
然后20以内
然后50以内
然后100以内
然后明白进制
明白进位就可以了。。。。。
实在不能明白为什么到了5，6年纪
要学000，000，000，加减法
不就是重复用同样的规则吗？
从数学上没有任何意义。
所以我个人觉得
放过计算吧
不管用什么方法
只要坚持一段时间
坚持学会了，
没有要再纠结了
而且无论什么方法，
其实没有必要在乎细节
因为细节到了代数学习中完全没有用。
其实很多高中生都忘了那些给加法方法取的名字了。。。。
坚持一种方法，达到
能够熟练做两位数的加法，减法
两位数的乘法
除数和被除数两位的除法
就差不多了
那些所谓的方法，
真的不重要
至少站到以后数学学习中不重要
=======================
像上面说的
我也不明白为什么纠结那样解方程
计算的目的
理解进制
求出结果——这个是数学的目的
方程的纠结
理解方程
求出结果
如果从理解方程的角度讲
想 x的系数是什么，常数项是什么
这个容易然后写成 ax=b标准形
然后求解
（这个思路对于代数也很重要，
人类对代数求解，从一次，二次，三次，四次，五次
直到群论的大门打开，
是人类千年对未知的探索，
所以写成标准式
正是代数的一本发展史）
或者学着写 x=（c-b）/a等类似的
就是用已经直到数表示x
这个也是代数学习的基础
因为最终目标是求出x
所以我不能明白为什么
学校纠结一定按照这个写法
求出x。。。。。
这个步骤还是最蠢得
唯一的的好处
一定可以求出。。。。。。
我明白等号的定义就是，
等式两边同时加减乘除是一样的
问题是
等号有property1， property2，property3.....
类似这边+移到那边-
为啥每次都要回复到最根本的定义模式求解
。。。。。。。。
如果数学证明每次都不从用已经知道的性质
而都一定用最根本的定义
那么数学史完全就不会发展。。。。。
哎，
我是不明白
美国中小学很多强求步骤/方法的教学。。。。
似乎与数学完全没有关系
只是创造了一种可以process的程序
可以跟着
这里仅仅止于小学和初中
echodrawing 发表于 2020-12-10 09:39
强re一下“数字的数学的基础是进制”这个观点。mm你娃才四岁，估计不讲这个吧？你觉得多大可以开始讲进制，2进制，16进制？
看的好焦虑。本来是学校的responsibility，现在又推给了家长。
你们有考虑从中国买数学课本来吗？照着中国的课本学如何?
momclub17 发表于 2020-12-10 09:41
仔细读帖啊，前面都说过了，提了日本法国的教材
这个帖子让我收获很多，感谢mm的无私分享。你说的关于中小学数学教育，60年代和当下的差距，我想学教育的mm可能更清楚。也许美国的数理化在那个年代曾经经历过“教育创新”，这个创新造成现在的结果，很可能矫枉过正，才有过去十年对stem的大力提倡。我们既然生活在这个年代，只好尽量适应。
我想请mm谈谈
回复 141楼xinlaide的帖子[/url][url]https://forums.huaren.us/showtopic.html?topicid=2539753&fid=398
楼主也分享了不少经验。
RoseLeigh 发表于 2020-12-10 16:40
多谢！
我其实美国数学吐槽其实是在小学，初中
并不是在高中
一旦进入成系统的数学学习
美国教育的优点就显示出来
如果有个小孩能够在survive from小学, 初中
没有在荼毒中丧失数学学习的能力
若是
对数学浓厚感兴趣的话
那么完全等于老鼠掉入米缸里
中小学那个真的不是数学系统，
数学系统每个都是类似几何学一样
一个定理一个定理建立起来的
无论代数，几何，解析几何，微分，线代，随机，
等等
任何一个topic，要找经典教程1-5不同难度等级的
都可以拎书出来
整个西方
讲叙知识的方式
都受到2000年前欧几里德的几何
一个板砖加一个板砖的建立
即使是文科讲述的方式
也受到形式逻辑的影响
整个西方关于问题的讨论探索过程
都在受到逻辑的影响
从讨论亚理士多德的马
到罗素的幸福之门
逻辑论述无处不在。
所以，进入各个数学系统之后
就是进入学代数，几何之后
美国真的是
如果想学数学
什么基础，什么起步的书都有。
而且要兴趣的有兴趣
要知识的有知识的
要8g的有8g的
要帮助应付考试的有应付考试
类似
big fat book是很一般
但保证懂个基本知识
应付美国学习没问题
要再同学中突出
可以用AOPS的教材的
也可以关心美国60年代的数学课本
（美国有过曾经非常重视理工的时期，非常好的教材
优秀的人编写的，要不登月就不会发生了）
如果是顶级的小孩
可以去看高斯，欧拉的书
看看穿越历史长河，
这些巨人是怎样把算术与代数建立起来的
看看笛卡尔是怎样建立解析几何的
等等
随便列一些书在后面
我对美国数学教育就是
活过中小学的荼毒
进入到正式数学成体系的讲述
数学就开始赋予真正的生命。
也有着丰富的资源
How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method
by G. Polya (Author), John H. Conway
Proofs from THE BOOk
by Martin Aigner (Author), Günter M. Ziegler
Disquisitiones Arithmeticae
by Carl Gauss (Author), Arthur A. Clarke (Author)
Elements of Algebra
by Leonhard Euler (Author), Scott L Hecht (Author)
The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible
by Keith Devlin
A Mathematician''''s Apology
by G. H. Hardy
What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods
by Richard Courant (Author), Herbert Robbins (Author), Ian Stewart (Editor)
Mathematical Bridge, A: An Intuitive Journey in Higher Mathematics
by Stephen Fletcher Hewson (Author)
Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra
by John Derbyshire
Is God a Mathematician?
by Mario Livio (Author)
One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science
by George Gamow (Author)
Euclid''''s Window : The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace
by Leonard Mlodinow (Author)
echodrawing 发表于 2020-12-10 10:51
非常感谢！我买了Polya, Gauss 和 Euler的三本，准备圣诞节和过年翻一翻。
第二本 Proofs from THE BOOK请问你推荐哪一版本？
楼主mm，我看了你在隔壁4岁教数学的帖子里写到下面的这一段，真的真的很喜欢，很受教。我觉得成年人也可以这样干吧，学会把数学书像闲书一样看下去。我也觉得这是有可能实现的，毕竟很多数学书可能比很多哲学书其实都更可读，也写的更简练。
希望在他学完初等数学之后，在需要的时候能够自己把，简单的实变函数，简单的线性代数，简单的概率论，简单的数理统计，和简单的博弈论，当作闲书一样自己看下去。
。。。
对于理科最基本的思辨并不是，知道/学会了一种方法，而是，能够把这个方法为哪里而来，为什么会这样，从一开始的砖头，一步步推演得明明白白，清清楚楚。
这真是超有用的数学玩具，如果没有你的指点我可能需要找很久，或着要靠碰运气才知道这 一款游戏，所以真心感谢！
而且看你用盘子教二进制的方法真的太棒了！下回我也要试试。我觉得mm你有很多特别棒的数学教学小实验/设计，而且善于把它们故事话，真的很有价值（对别人我不知道，起码对我特别有启发）！所以还想多听听，请你有时间一定多分享。
另外想问一下，有没有好的适合幼龄的应用数学的好例子？（之所以这样问，是因为我自己水平太有限，无法让她领会数学思想本身的乐趣和美，所以想依靠数学应用。）我女儿喜欢视觉艺术和文字，我曾经尝试给她看fractal的纪录片。还给她看过计算机视觉的一些例子，比如在excel上用0-255的数字代表每一格的灰度，这样可以把一个蒙娜丽莎用excel“画”出来。但我感觉这些，虽然可以给她一些模模糊糊的感受，还不能提升她manipulate数字的兴趣，离她和数学的关系还太远。
太好了，我也超喜欢anno的书，谢谢推荐！
我的高斯的Disquisitiones Arithmeticae 今天到了，翻看第一页第一段congruent number in general, 发现自己居然完全忘了什么是congruent number。。。汗啊。。。反正全当读着玩，不指望靠它赚饭票，慢慢看吧
前面讨论modeling，我知道我们学区二年级数学的作业有类似的练习。比如给你一个数学公式，让你讲一个故事。比如5+4=9，可以是“哥哥赢了5个treasure box， 妹妹赢了4个，两个人一共赢了9个”。或者是天上飞过几支鸭的故事。有些家长不喜欢，觉得每天都是数几只鸭子，很没意思。在这个练习里能有多少收获，跟家长的辅导能力关系很大，因为孩子一开始建模的例子会很单一，所以父母如果能给一些多样性有意思的应用，效果应该更好。关于高中以后能否有建模能力，我觉得完全可以。我的前老板，大学学的是american studies（我的偏见是这是很水很水的文科），她30岁以后去mit读计算机科学，毕业后工作起来，建模能力是杠杠的，虽然我也不觉得她有代表性，但我认为好的语言组织水平，对于清晰地表达/辨析/解释问题非常有帮助。
最后分享一些我最近发现的资源。
给数学外行的梳理数学知识的资源，我找到一个油管的10分钟视频，对我这个外行还是挺有意义的。
https://www.youtube.com/watch?v=OmJ-4B-mS-Y&ab_channel=DoS-DomainofScience
给小朋友的资源，我开始给孩子看一些非常简单的数学史的视频（https://www.youtube.com/watch?v=eVm063xmnow）。
我还给她看这个math anxiety的视频，她看得时候目不转睛，真的是被get到了。（https://www.youtube.com/watchv=7snnRaC4t5c&ab_channel=TED-Ed）
看你对数学的看法，醍醐灌顶的感觉。
从自由的角度看数学的演变和数学的精神，受教！
怎么说，比如音乐家父母，看到别人教琴教音乐，
一眼就知道老师的水平在哪里，
那个分水岭在于是培养匠人还是培养艺术家。
大多数的父母对这个区别，第一不敏感，第二没有需求。
数学教育恐怕也是如此，good enough。
enough （not enough） for what？
这个是家长的需求，每个家庭都不一样。
common core恐怕就是社会需求settle到的那个good enough。
我猜这个差距，不止在数学教育上。
我最钦佩是楼主既懂，又不吝啬分享自己的见识，这么耐心的跟帖，
我这一路跟过来，像是井底之蛙看见了蓝天的感觉。
开始读polya的书，真是经典！
让我想起mortimer的how to read a book。
都是超级会学习的人，抱着极大的热诚，把学习的方法揉碎了，碎碎念，不厌其烦地手把手教你。
所以教育到最后还是要学怎么学习，怎么思考，怎么发问。
当然，如果还能欣赏，做个数学的票友，那真是件乐事。
=====
我买的Euler也送到了，居然是亚麻自己做的书，连个出版商和正经编辑都没有，简直把我气坏了！
请问mm哪一版的Euler好(Elements of Algebra)？能否给个链接。
我买的是下面这本，不推荐
[url]https://www.amazon.com/gp/product/150890118X/ref=ppx_yo_dt_b_asin_title_o09_s00?ie=UTF8&psc=1#customerReviews[/url]
还有那个学概率的例子，以后工作中用到了，会回头学的，用不到也不用遗憾了，只要不是自暴自弃。也不是说过了这村，就没了这个店。
建模能力的问题，我觉得非常契合你的帖子的标题 - 数学这个语言。
建模的过程就是用数学这个语言来描述实际问题，
应用在当代社会，数学语言又通过计算机语言来实现。
实际上，我们的生活已经被数学包围了。
建模的例子随手都是。
这在以前属于少数人的“特异功能”，
比如有人出车祸以后，脑子发生变化，一听见音乐，眼前马上就能看见一排排数字，秒变建模天才。
今天，计算机音乐家把巴赫的赋格用视像呈现，任何人都可能看见，音乐和数学的关系不言自明。
又比如，刘慈欣曾经讲过他小时候对天文的热爱，他对非常大的数字又一种非常具体的感官的体会，
成年后才知道原来普通人对宇宙距离的认知停留在抽象的数字。
这种通感，一是丰富我们的语言工具，二是丰富我们的想象力和感受力，三是提供一种感知的多样性。