GT Math 应该是Beestar里面的，它不是免费的，比普通同年级数学要难。

没人讨论是因为CTY必须考进去才能学，能考进去的家长都不需要来这个帖子找材料了，已经自己鸡过孩子了。

不过我没觉得题量很大，也还好。 还要凑上负责任的助教。 我家孩子上代数1时她不问老师也就例行公事每周发个邮件问一下。 上几何时是个韩裔，认真的不得了，强迫她Zoom，把错题全部重做，还告诉她要重新复习哪部分。。。。所以我们上代数2时指定她继续教。

Mark一下，取个经

12/14/2020

我收回原来concern。通过观察隔壁男孩，觉得1（计算），2（步骤）的如果在Grade7或者Grade8，确切说在正式学代数之前意识到要纠正这些，其实问题不大。

对于一个3/4 x=15解不出正确x，2-（1-3）括号里面负号不会化成正号，分数除以分数出不会化简，直角坐标系上画一个点都找不到位置的Grade8小孩能够通过半年重建，能达到另一个MM曾经贴过的题目，过一个点求已知直线的的平行线/垂直线的解析式。

那么任何一个在学代数之前的意识到这个问题都可以经过半年的左右的练习，去弥补1，2的缺陷。 （他的approach方法，我过会儿开会的时候写。）

这个其实是可以通过习惯训练达到的，

周末看帖，看到一个更悚然的

----------------

原帖是讨论那些学校技能，一个MM写了辅导侄女物理过程

大意就是学校教了怎么做实验，怎么approach，没有教怎么做题

然后她怎样教怎么做题的

（求贴出原回答，那个MM写得很详细，我找不到了）

--------------------

这个涉及到一个问题就是，就是讲实际问题转化成自己知道理科知识能力。

这个问题比前面讨论的12点要严重多了，

因为前面说的12两年是可以通过training来完成了

而这一点能够通过training来完成，在于个人

如果学校没有这方面的意识，

那么会遇到这个知识我懂，

老师说的按他们方式考的我也会

但是拿到实际问题就虾米。

其实也就是大家说的modeling的能力。

可以通过training有了计算和写步骤的能力

但是modeling的能力确实却没有那么明显看得出来

反而更加重要，

涉及到联想力，构建力，等等

往往决定了一个人在理工科上走的高度

modeling 的能力确实重要，但是这个可以到大学或者高中再建立，都来得及，学习物理确实是建立这种能力的最佳路径，不过高中之前的数学基础非常重要。我高中就去搞物理竞赛了，基本的大学普通物理实验都是那时候做的，除了操控设备动手的乐趣外，最神奇的事情就是测各种常数，拟合各种模型。通过实验-建模，对数学的理解增加许多，看数学问题多了一个角度觉得简单很多。

[url]https://www.livingmath.net/i-love-math-young-math

我不确定，

如果基本modeling能力在学了代数之后，并且代数学塌了之后

是不是能够重建

如果是在代数之前，然后跟着学代数去培养一些modeling的能力，

然后进一步深化，是可以的。

中国的初中学得比美国Grade7-8中的代数要深入很多，

他们会学一些解析的能力，一个应用题怎么用二次方程求对大值之类。

你的初中高中解决应用题有了基本的modeling的sense

美国不清楚有没有，

大意就是那个高考物理应用题

不强求会做，

好歹知道大概什么方向，

可能用什么公式之类的

如果没有解决应用题的能力，

高中过分强调做实验，

这种适合天才

自己会基本应用了

美国高中物理，对应用题的要求是什么？

不知道大学是不是能够学学习能力之后

建立modeling的能力。

我娃小，孩没有经历过

一些大学物理系学生学不下去，转专业还挺多的。

[url]https://as.tufts.edu/education/earlyAlgebra/about.asp

回复 65楼Summer_Breeze的帖子

没人讨论是因为CTY必须考进去才能学，能考进去的家长都不需要来这个帖子找材料了，已经自己鸡过孩子了。

不过我没觉得题量很大，也还好。 还要凑上负责任的助教。 我家孩子上代数1时她不问老师也就例行公事每周发个邮件问一下。 上几何时是个韩裔，认真的不得了，强迫她Zoom，把错题全部重做，还告诉她要重新复习哪部分。。。。所以我们上代数2时指定她继续教。

cathynd 发表于 2020-12-13 22:38

CTY 的数学 SAT550 就可以了。 SAT 名字写对了就有 400 分。 基本上交钱就能进。

我可能没有表达清楚，

我想说的基本数学能力在开始正儿八经学代数之前是可以重建的。

不是不重要，是即使没有，也有机会重建。

之所以这样是因为，其实美国Grade1-Grade8数学就基本算术学了。也就是说给两个整数，加减乘除他们是会。

即使算错，如果认真让他们算

他们也是可以的。

整了六年。。。。。。。

我大概一周关心一次隔壁男孩

主要跟他妈妈爸爸沟通

然后让她家去练习啥。

我们本来play date

不知道怎么变成

一周我免费教他娃30分钟数学

然后跟他妈他爸说要怎么怎么样了。。。。。

一开始是发现两个分数相加，

小孩都10道题错9道题——就是beestar的免费printable sheet

我看小孩做了做

然后把beestar里面公约数，公倍数拎出来

跟娃妈说，你跟他一天做一张吧

这样子终于会能够分数计算不会10题9错

大概达到10题2错的方面

然后还有乱七八糟的计算问题

小孩好像很喜欢写假分数。

两个分数想除就不会化简了。。。。。。

我忽然想到一个问题

如果现在从4年纪开始补的画

那么大半年之后就要上高中，

岂不是虾米？

于是想了一个办法

干脆整一元一次方程

就是从中国下载的各种复杂恶的一元一次方程

带分数的，带分式的，带括号等等

就是长长，复杂的一元一次方程

大概有200多道题

交给他妈

一天20道题

然后看看正确率

一开始10题错7道

他妈拍微信给我看

我就跟他妈说

买格子纸

要好好写步骤，

大概经过了2-3个月

终于计算

后来10题终于只错2-3道

总算

不是一遇到分数就错

一遇到负号就错

一遇到括号就错了

计算总算及格了

能够稍微写一些步骤

也就是说通过借各种花式

一元一次方程

总算欠下来计算关是过了

至于步骤。。。。

反正只要他自己能够写得自己不出错就行了。

真正写逻辑步骤的在后面

=======================

某天我忽然意识到

这娃连坐标系里面画（2，1）这个点都不知道怎么画的时候

我建议他妈来了big fat book

然后就依赖着big fat book和beestar的打印纸

开始学会写步骤。

首先big fat book

只是个基础大纲

我大概每周给他娃讲一节

然后改后面的题目

所有的题目都变成解析性

类似与书上让你画一条直线

那么就反过来出写

给定两点，求这条直线、

对于beestar上的相关题目

也做修改

比如坐标系里面给个图形，

让向上，向下平移之类

就变成写出图形中每个点的坐标

然后写出平移后每个点的坐标

然后再画图形

因为解析几何其实也是一个完整的系统

从点，

然后线

然后两点的具体

然后线与线的夹角

然后根据点与线的关系，线与线的关系，如何确定一条直线等等

我非常感谢曾经再某个帖子里面

为我贴出她家小孩Grade8解析几何题目的MM

正是因为看到她的两个题目

我意识到了

一个Grade8应该有理解力和慢慢解析能力应该怎么样

然后一步步的像这个去靠拢

我其实只是给

小孩子家长提供了一个纲领

就是每周你们去整啥

就去弄这个

要注意什么

至于怎么与小孩去每天磨

怎么一点点弄

还是小孩父亲做到

至少现在

小孩能够考虑

奥，要坐标系里面画一条直线需要两个独立条件

我们已经有了什么直接条件

如何把间接条件转成直接条件

然后把两个直接条件构建起来

成为得出直线

我个人觉得能够把

这样思维表达出来

应该足够高中学代数了

================================

也就是说通过大半年的时间

邻居小孩终于在计算能力，计算步骤上

达到可以跟上高中学习的能力

所以，前面说的1，2虽然重要，

但要补救也容易

大半年磨一下养成习惯就好了。

——不是不重要，是补救起来容易

至少在学代数之前还是比较容易的

学代数之前

步骤其实比较简单

脑中可以想清楚

只要把想清楚

表达出就好了

不能够在问题变复杂

脑中不能一下子想出来的时候

去补步骤和计算功课

那个时候就太晚了。

==============================

至于那个高中modeling的能力，

我没样本也没经验

但觉得这个问题更严重

因为大学里各理工科对这个都有要求

——有的时候考试表现不出来

但实际上一个人对一个知识的理解在于灵活运用上

不在于记住公式，依葫芦画瓢写公式。

（一位老教授说怎么出题控制分数

绕一个圈70%就虾米了

绕两个圈98%就虾米了

绕三个圈就全部虾米了

所以，有一定经验之后，基本上出什么卷子会控制多少分都心里有数

。。。。。

其实就是知识之间建构，直接，

还是要用两个点，还是要用三个点）

望有经验的人

分享经验。

回复 188楼hru的帖子

其实在Grade8之前都可以建立（就是上高中之前，

既与大脑发展有关——大脑的软连接要在12-18岁之间会蓬勃发展

又与知识体系有关——代数是个整体，

问题是，

我不知道如果18岁之后

modeling能力没有

还有多少能力重建modeling的能力。

所以如果美国高中没有培养小孩

对于modeling的能力

那么还有机会吗？

你说的代数，也是不能是直接用代数知识，而得构建，

就是要通过间接条件构建出要求的条件

也就是有逻辑推理至少2-3部分

直接用知识点，那个知识fill the blank

要转成逻辑

得有推理在里面

代数，

平面几何

平面解析几何

他们中间任意拎出一个来都可以培养这方面的能力

其实我真的个人觉得

如果实在找不到好教材

那么直接拿

AMC，AMC10， AMC12的题目

来联系了写步骤

也行

那个其实也培养了modeling的能力

——至少后面的题目不直白

法国材料是20年代由J. Tannnery, J. Hadamard, E. Borel, E. Cartan四位院士出马编写法国中学教材的。

法文中的一本可见https://www.amazon.com/Le%C3%A7ons-Darithm%C3%A9tique-Th%C3%A9orique-Pratique-French/dp/1143664787

并不适合小孩读，是纯粹从扎实数学功底的角度上来讲授数学

mark

回复 186楼echodrawing的帖子

太好了，我也超喜欢anno的书，谢谢推荐！

我的高斯的Disquisitiones Arithmeticae 今天到了，翻看第一页第一段congruent number in general, 发现自己居然完全忘了什么是congruent number。。。汗啊。。。反正全当读着玩，不指望靠它赚饭票，慢慢看吧

前面讨论modeling，我知道我们学区二年级数学的作业有类似的练习。比如给你一个数学公式，让你讲一个故事。比如5+4=9，可以是“哥哥赢了5个treasure box， 妹妹赢了4个，两个人一共赢了9个”。或者是天上飞过几支鸭的故事。有些家长不喜欢，觉得每天都是数几只鸭子，很没意思。在这个练习里能有多少收获，跟家长的辅导能力关系很大，因为孩子一开始建模的例子会很单一，所以父母如果能给一些多样性有意思的应用，效果应该更好。关于高中以后能否有建模能力，我觉得完全可以。我的前老板，大学学的是american studies（我的偏见是这是很水很水的文科），她30岁以后去mit读计算机科学，毕业后工作起来，建模能力是杠杠的，虽然我也不觉得她有代表性，但我认为好的语言组织水平，对于清晰地表达/辨析/解释问题非常有帮助。

最后分享一些我最近发现的资源。

给数学外行的梳理数学知识的资源，我找到一个油管的10分钟视频，对我这个外行还是挺有意义的。

https://www.youtube.com/watch?v=OmJ-4B-mS-Y&ab_channel=DoS-DomainofScience

给小朋友的资源，我开始给孩子看一些非常简单的数学史的视频（https://www.youtube.com/watch?v=eVm063xmnow）。

我还给她看这个math anxiety的视频，她看得时候目不转睛，真的是被get到了。（https://www.youtube.com/watchv=7snnRaC4t5c&ab_channel=TED-Ed）

Mark一下

回复 194楼xinlaide的帖子

你老板是旧式系统培养出来，

2000年之前上小学和现在的小学数学完全变样了

（Bush不让一个学生拉下之后，变了很多很多

美国小学初中数学教育每十年往后退一步。。。。。）

老式教育还是很厉害的，

Edward Witten本科历史，

照样拿了数学的菲尔兹和物理的诺奖

这种让小孩讲故事方法好

但美国的问题在于后继无力

大意就是整来整去都在演绎加减乘除

公倍数，公约数，分数，幂

等等似乎只认识了一下数学符号和定义

——这个是我对邻居小孩的观察

不清楚其它样本

让老师编一个

某工程先做了1/3,又做了剩下的2/5,又做了剩下的6/7，最后剩下1天，问一开始工程多少天，

似乎有理解困难

要解释model首先的基本运算，

基本数字都理解清楚

似乎美国现在小学教育、

几乎大部分精力发在了整数的加减乘除上

然后分数有些虾米

（这一点我很喜欢AIME的题目

答案被迫化成最简分数）

我对beestar后面练习非常诧异

它对于分数，一元一次方程的练习数字上非常简单

没办法，分数计算跟不上，一元一次方程不能弄复杂一些的数字。。。

我娃还小，没想过这部分怎么弄

可能先爬质数格子

好歹把100以内数的因子分解都熟悉了

如果连分数只是了解了一下的话，

那么关于百分数，

关于物理公式的理解就更加。。。。

英语确实对解释清楚非常又帮助，

你举例的方法飞小鸟也非常好的，

但要跟知识持续性跟上，

不能只整加减乘除。。。。。。。

得随着内容的增加而变迁

Moore教学法（螺旋式上升）

本来是跟后面知识构建

但是后面知识没有来得及讲。。。。

比如讲什么A+B=C

还可以写什么A=C-B， B+A=C， B=C-A

这样讲是为了学生

对后来代数学的等式移项呼应起来

但后面教方程的老师不觉得，

他们还强求学生两边同时加减乘除

如果那样的话，

那么前面练习写变形

完全浪费了

Moore本身方法形容没有问题

打基础“理论上”也没有问题

实践上出了问题

后面的学习根本没有呼应前面深入的方法和知识

我个人觉得

小学一年级整加减各种理解都行

二年级整乘除，各种理解都行

到了三年级，就应该放精力在运算规则上

到了四年级，就放精力在小数上了。

到了五年级，精力放在整分数上

到了56年纪，还在整数加减乘除，

真的是把后面拉下来了。。。。

我当时看到邻居小孩

对分数的计算能力都震惊了

一算就错的地步

哪怕是最简单

一个分数除以一个分数都算不正确

据他妈说当年耗费了很大力气才理解了百分数。。。。

——应该不代表美国大多数。。。。。

====================

我对数学的看法freedom

The essence of mathematics lies in its freedom.

——Georg Cantor

能够拓展它的认识和疆域的方法也好

书也好，我都愿意接受

但凡是限制它自由的，

我都难有些困难。。。。。

数学疆域的扩展

一次次就是为了自由

正数（加乘的自由）-->

整数（加减乘的自由，不在限制必须大的减去小的）-->

有理数（加减乘除的自由）-->

实数-->

复数

一次次寻求方程的解

也是为了自由

要不高斯就不会选择数学了

所以凡让我觉得限制了自由的方法——就是规定一定要怎样的，

都不喜欢

比如说解方程的套路

记住加减的family

等等

当计算能力限制了认识

也就会限制了数学的自由

美国小学，初中的分数计算能力

到底能不能达到

任意分数加减乘除的四则混合运算都没有问题

任意分数都可以化成最简形式。

回复 196楼echodrawing的帖子

唉，说到痛处了。本来都讲好了怎么移项解方程，然后突然有一天发现又只会两边同加减同乘除，一问才知是老师要求的。

回复 196楼echodrawing的帖子

楼主，我就是之前你那个帖子给你贴我家娃8年纪题目的，说实话对数学教育这个事我和你的观点完全相反。

数学这个东西又不看童子功，完全没有必要提前推。对于任何学科，掌握程度基本可以分三类：

1开创型（bring new things to the subject）

2熟练使用型

3学了和没学差不多型

1是完全不需要任何推的，家长推来推去，其实是怕娃是3。但是从3到2，如果家长自己是1/2之间，完全不用从什么4岁就开始，投入产出严重失调。如果到了初中发现娃有3的苗子，再推也完全来得及。我自己本科期间一直给高三做理科家教，基本一年时间内以2h/week的强度，都可以从3推到2. 所以如果娃听话，到高中再推也来得及，考虑现在的娃高中不太听父母的了，所以初中加个check point就可以了。

至于你说的自由，任何一种知识或能力都是达到一定的高度才有自由。

这个世界上除了数学自由，还有画画自由，演讲自由，写作自由，足球自由，。。。无穷无尽。没有人可以达到所有的领域都自由，养孩子最重要的是不要让孩子本来可以自由的领域由于父母的局限而不自由了，而不是过于担心娃在某个方面不自由。

你这邻居的孩子多大？根据你的描述，貌似这孩子上数学课就没有认真听讲过啊。

美国中校学数学教育是差，但是你邻居孩子的表现绝对不能完全怪罪于教育体系。毕竟，教育体系再完美，学生不学的话自然也是啥都不会啊。

至于你说的建模，我觉得其实解应用题就算是建模。

另外，你说的“虾米”是啥意思？我年纪大了，不知道这类网络词汇。

回复 198楼Chopard的帖子

谢谢MM贴的图

你娃跟着学校上没有问题。

我隔壁的娃跟着学校上一堆问题

这个与城市的大小，

学区的大小有很大关系

我不认为对一个Grade8的小孩

要求计算分数不出错是童子功

我觉得这是基本要求

学校如果把小学高年级分在多位数加减乘除时间分给分数

要好很多

不需要怎加任何练习的时间

去除重复的部分

两位数的加减乘除，与3，4，5，6。。。12位的加减

从数学上来说没有区别

高中老师的进度自己掌握

我自己做大学老师，完全知道根据学生水平manipulate试卷如何尝试

要让学生考过SAT容易

但要学生真正懂得modeling其实更难

在大学里面，看到有学生学利息

m（1+r%）

有人写写就成了m+r%

特别是看到一些用功的小孩

那么工整的的写作业，

觉得有些小孩真的是背教育系统耽误了

连一个common sense都不能有

公式不能成为自己的

也就是前面说的，那个modeling的本事。

当GRE的数学都成为一个challenge的时候

你认为他们会有选择理工科进一步学习的能力吗？

当然他们可以选择放弃，就是我不喜欢，我不擅长。

这个世界确实有很多自由

每个小孩都有选择通向自由的路径和走向

这个帖子在说数学自由，并没有否定其它自由。