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好帖关注！

我其实美国数学吐槽其实是在小学，初中

并不是在高中

一旦进入成系统的数学学习

美国教育的优点就显示出来

如果有个小孩能够在survive from小学, 初中

没有在荼毒中丧失数学学习的能力

若是

对数学浓厚感兴趣的话

那么完全等于老鼠掉入米缸里

中小学那个真的不是数学系统，

数学系统每个都是类似几何学一样

一个定理一个定理建立起来的

无论代数，几何，解析几何，微分，线代，随机，

等等

任何一个topic，要找经典教程1-5不同难度等级的

都可以拎书出来

整个西方

讲叙知识的方式

都受到2000年前欧几里德的几何

一个板砖加一个板砖的建立

即使是文科讲述的方式

也受到形式逻辑的影响

整个西方关于问题的讨论探索过程

都在受到逻辑的影响

从讨论亚理士多德的马

到罗素的幸福之门

逻辑论述无处不在。

所以，进入各个数学系统之后

就是进入学代数，几何之后

美国真的是

如果想学数学

什么基础，什么起步的书都有。

而且要兴趣的有兴趣

要知识的有知识的

要8g的有8g的

要帮助应付考试的有应付考试

类似

big fat book是很一般

但保证懂个基本知识

应付美国学习没问题

要再同学中突出

可以用AOPS的教材的

也可以关心美国60年代的数学课本

（美国有过曾经非常重视理工的时期，非常好的教材

优秀的人编写的，要不登月就不会发生了）

如果是顶级的小孩

可以去看高斯，欧拉的书

看看穿越历史长河，

这些巨人是怎样把算术与代数建立起来的

看看笛卡尔是怎样建立解析几何的

等等

随便列一些书在后面

我对美国数学教育就是

活过中小学的荼毒

进入到正式数学成体系的讲述

数学就开始赋予真正的生命。

也有着丰富的资源

How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method

by G. Polya (Author), John H. Conway

Proofs from THE BOOk

by Martin Aigner (Author), Günter M. Ziegler

Disquisitiones Arithmeticae

by Carl Gauss (Author), Arthur A. Clarke (Author)

Elements of Algebra

by Leonhard Euler (Author), Scott L Hecht (Author)

The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible

by Keith Devlin  

A Mathematician''''s Apology

by G. H. Hardy

What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods

by Richard Courant (Author), Herbert Robbins (Author), Ian Stewart (Editor) 

Mathematical Bridge, A: An Intuitive Journey in Higher Mathematics

by Stephen Fletcher Hewson (Author)

Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra

by John Derbyshire

Is God a Mathematician? 

by Mario Livio (Author)

One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science 

by George Gamow (Author)

Euclid''''s Window : The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace

by Leonard Mlodinow (Author)

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并不是在高中

一旦进入成系统的数学学习

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echodrawing 发表于 2020-12-10 10:51

国内是不是相反？小学初中打基础还可以，但到了高中，学的东西就偏门内卷得厉害。极坐标，解析几何那些又复杂又没什么用的东西对后来的数学学习基本没什么帮助。

回复 118楼momclub17的帖子

这个倒没有必要

我自己用的是日本70年代的教材

只是个人出自对小平邦彦讲诉方式的偏好

我对数学教育是个老式的人

喜欢用老式的课本

美国其实50-80年代的数学课本还是挺不错

那个时候因为跟苏联冷战

所以推行扎实的理工

要不也登不了月

有过非常经典的教材

其实有很多老式的人

觉得现在中小学教育太不靠谱

用原来的教材

如果你能够适应旧书的风格

没有花里胡哨的东西

就讲知识，讲题目

我推荐美国60年代的课本

Grade 1-12 都可以从下面

https://raysarithmetic.wordpress.com/rays-free-arithmetic/

喜欢的也可以去买

Rays Arithmetic Series (8 Volume Set) Reprint Edition

by Ray Joseph (Author), Ruth Beechick (Author), Mott Media (Author)

相对于common core

它被成为hard core

每节后面都有非常多习题

喜欢文字习题，也可以在上面找到

唯一不好就是

可能要习惯一下旧式数存粹从数学讲数学的方式

好贴 mark

人家欧拉是算太多，把自己算盲的。然后不得已心算。普通孩子怕是练习不到他那个程度。

不需要记公式

这是开了外挂了

我其实美国数学吐槽其实是在小学，初中

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所以，进入各个数学系统之后

就是进入学代数，几何之后

美国真的是

如果想学数学

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看看笛卡尔是怎样建立解析几何的

等等

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数学就开始赋予真正的生命。

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Is God a Mathematician? 

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One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science 

by George Gamow (Author)

Euclid''''s Window : The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace

by Leonard Mlodinow (Author)

echodrawing 发表于 2020-12-10 10:51

我推荐美国60年代的课本

Grade 1-12 都可以从下面

https://raysarithmetic.wordpress.com/rays-free-arithmetic/

喜欢的也可以去买

Rays Arithmetic Series (8 Volume Set) Reprint Edition

by Ray Joseph (Author), Ruth Beechick (Author), Mott Media (Author)

by echodrawing

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把楼主两个帖子拼一起存下来。谢谢推荐。 感谢楼主既有专业知识又愿意分享。

Mark学习一下

微积分和解析几何还是有很大关系的，

不过很多可能只是当个知识点或公式学的，

而不是当体系学的。

中国如果是90年代前面的老课本的话，

其实大家都是一个体系的演化出来的。

背景

民国的时候，一群人到了加州，把加州的数学课本翻译了回去

包括解析几何，平面几何，立体几何，初等代数，高等代数

然后建国后又去苏联

又整合了苏联的教材

也就是说如果中国还没有教材改革

还是按照代数，平面几何，解析几何，立体几何分类的话

那套数学系统其实世界都差不多

都是美国和英国去法国学习后整出来

法国有过耀眼的数学黄金时代

现在的系统，打混了，我就不知道了

——所以搬运中国的现在课本也可能有些不太靠谱

不过。。。。。。。

现在主要是考试模式信息互联网化，导致大家不是在学这个知识建构本身，

而在研究怎么套路解题——就是看到这个条件怎样，看到什么就怎样

那个能够帮助提分，

对于数学没有多少价值

其实

无论在中国还是在美国

其实无论在哪个国家，

数学有天分的都不会被磨掉的

因为在中国有天分的不会打理套路式解题

在美国，自我兴趣？

中国很多奥数出来的都在美国

也有很多人在学术界

很多人也圈内很出名

但基础理论能不能发扬光大

要等30--50年，

所以也不能说系统教育有问题。

如果是说大众的教育，

哎，

中美各自教育各自价值体系

培养各自社会体系需要的人才

任何一种教育体制其实都有弊端

中国缺的是大学后的教育与兴趣之间的关系有些牵强

其实不是教育的关系，

中国环境很难留住单纯对理论学科感兴趣的人。

而美国进入大学后的学习，

无论选择什么专业，

如果安平乐道，也能够保证人人有饭吃。

我邻居也是一个教授

他爬上很高的梯子铺墙皮，

然后，我说，做教授不如去盖房子挣得多，你激发第二职业了。

他说，特别是我这社会学的，哈哈哈。

我觉得挺好

锻炼生活技能

顺便锻炼身体

于是隔壁教授

虽然是个文科教授

人家冬天能够买很多树

然后据了之后码成整整齐齐的长方体

保持年少时的兴趣

需要年少时候的兴趣还能够维持成人的生活

而对于成人来说，

什么都不容易

回复 129楼RoseLeigh的帖子

小平邦彦的数学

真的是个人爱好

我个人觉得他的描述数学方式适合亚洲文化

Why don't people design an AI Tool for Maths operations/applications that the tool can read and analyse whatever maths composition people write, and then provide feedback in answers or questions or comments.

All the existing complicate complex maths (perhaps too many old and new maths theories and books that nearly nobody could read and understand all of them in a life-time) would Not be required to learn in details, other than their logic, reasoning, problem composition, etc.

Just like a kind of very high level programming language, as we don't need to know the underlying structure of machine language codes.

人们为什么不设计用于数学运算/应用程序的AI工具，该工具可以读取和分析人们编写的任何数学组成，然后在答案，问题或评论中提供反馈。

现有的所有复杂的复杂数学（也许有太多的新旧数学理论和书籍，几乎没有人可以一生中阅读和理解它们），除了逻辑，推理，问题外，不需要进行详细的学习。 组成等 .

就像一种非常高级的编程语言一样，我们不需要了解机器语言代码的底层结构。

同意，加速度过小初中，后面就是天空任鸟飞，海阔凭鱼跃了，哈哈

回复 9楼RoseLeigh的帖子

我是从图书馆弄来的

小平邦彦 是整个亚洲出的最大的数学家

当时日本数学由他引导，出了一系列的数学从小学到高中的教材，

整个教材将实数，代数，几何，微分，现代，极限都穿了起来，

可以从这套教材一直看到他微分学，一脉相承，定义清楚，

当然后面的部分只是做引申意义的了解

但是数学意义上讲得比较平实，

我选是因为薄。。。。。。

其实做小孩子的教材不一定好

我扫成了PDF了

这个网站可以贴附件给大家下载吗？

至于法国，其中平面几何有英文版

代数是G Borel的，这个代数倒是纯粹讲证明

所有东西都要证出来才算

类似为什么被3整除的数各个位数加起来是3的倍数等

这套数存粹从数学角度写，

给出结果给出证明

一系列的，不适合小孩子看

还有一套书德国的

Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint

这套书有得卖，不过也不是跟小孩读得

我比较认同他们的理念

美国为了加减乘除的理解在小学耗费了6年

其实是大大的浪费

应该从逻辑思路一步步推荐的角度认识数学，

——这个其实与学校数学教育无关

我回到开贴的主题

从一开始我希望培养就是那个层主提出的1，2两步

奠定学理工的基础

echodrawing 发表于 2020-12-09 11:56

请问pdf能放google drive之类分享吗？

要求统一的方法和步骤的老师，在我看来自身对数学可能都理解有限（但很不幸，国内和美国的很多小学老师都执着于此）

不管中国美国，小学教育似乎都局限于固定程式，教师的水平也极其有限

（这有点儿像管理学上的peter principle，每个岗位上的工作都由不能胜任的员工完成，因为优秀员工升职了。小学老师通常在数学上不具备更高的视野，这里十分公校小学老师也都是通科文课出身，自身理解有限）

我不太了解天才学校，好的天才学校很难考（名不副实的天才学校不少）。或许天才学校的师资会强很多？天才学校是否有专门的系统性的教材？

娃理解一个数学概念，通常需要用多种途径去启发。一方面，数学来自生活，尤其是小学数学，可以解释的方法很多。孩子的思维是发散的，我们并不知道哪种形式和那种思路，会让他们一下子豁然开朗。

各种数学概念中逻辑思维的重要性，比死记公式强的多。数学中证明和求解，无外乎就是建立条件和结果之间的联系。现在各种教材，包括奥数题，很多都在教套路。但是如何让孩子自己总结出套路，比让他们学习现有套路，恐怕更重要。

教科书教给孩子的，只是general的方法。这个对考试很重要，对做题效率很重要，但对孩子未来思维能力的发掘并不重要。在这方面，我虽然一方面希望孩子加快学习进度，但另外一方面，又不愿意她陷入各种套路中，而丧失了自己摸索思考的机会。

数学的核心是逻辑思维。逻辑之美，不仅可用于数学，可以放到各个学科之中。这里所说逻辑，不仅指逻辑数学。

很多人认为数学不用学那么好，理由是以后不当数学家就用不上，我不太赞同这个观点。看看网上许多人争论某个问题争论半天都争论不清楚，往往是数学没学好：）

孩子以后当然不需要以数学为职业，但在学习数学过程中养成严谨的逻辑习惯，可以受益终生。另外前面楼主有谈到那个奥数选手说高中数学是common sense，我的理解，这里的common sense，是指可以将那些看似抽象的概念或规律与现实生活中某些概念或规律联系起来，建立直觉，这样非常容易理解，不需要死记硬背。当然广义来说，这也是一种”聪明“的记忆方法。

其实即使是高等数学里很多概念，都能够建立这样的直觉。但这依靠融会贯通的想象力，就如楼主所讲的从基础代数到高等数学微积分之间的统一。如果回头来看整个数学体系，虽然有很多细枝末节，但其实整个数学大厦内部是有一个统一框架的。越能融会贯通，越能将他们统一起来，让孩子在学初级课程时就能欣赏到整个数学系统之美。

（譬如，我在教娃理解cone & pyramid volume的公式时，推而广之，给她讲arbitrary base的volume计算公式，用分解的方法去理解，cube->pyramid->cone->arbitrary base，突然就感觉，其实这个时候，甚至更早，在讲圆周长、圆面积时，其实就可以培养孩子对微积分的sense了。哪怕孩子不是很懂——圆周率怎么来的，初中有讲吗？似乎只能找课外读物了）

这些有趣的东西，如果能通过图文并茂、生动案例或者多媒体表达出来，将可以更好帮助学生学习数学。（能力强的学生自己就可以建立各种直觉，但可能大多数学生自身缺乏这样的能力）不知道有没有这样的教材，能够深入浅出，前后呼应，启发孩子的思考能力，让孩子探索更深入的东西。其实孩子潜力都是很大的，只是我们成人没给他们创造足够的空间和条件而已。

回复 85楼Scorpius的帖子

下面是我看法，不一定是对的

可能是我偏见。。。。。

我不能够明白为什么美国小学要在加减乘除上纠结那么长时间——论年的纠结

然后求加减，还要写从什么方法来的。。。。。

这个如果从以后数学的学习来说

没有任何帮助。。。。。。。

哪怕是是如果教学生

99+99这样巧算，这个算观察数字

但是每个都整个用什么方法求出来

我真的不明白为什么学校要这么做。。。。。。

数字的数学的基础是

进制

就是说理解十进制

以及十进制里面数的计算

为什么那么计算

为什么进位

怎样进位

我个人意见就是

用手指帮助计算1-9的加法

然后练习10以内的加法，减法

然后20以内

然后50以内

然后100以内

然后明白进制

明白进位就可以了。。。。。

实在不能明白为什么到了5，6年纪

要学000，000，000，加减法

不就是重复用同样的规则吗？

从数学上没有任何意义。

所以我个人觉得

放过计算吧

不管用什么方法

只要坚持一段时间

坚持学会了，

没有要再纠结了

而且无论什么方法，

其实没有必要在乎细节

因为细节到了代数学习中完全没有用。

其实很多高中生都忘了那些给加法方法取的名字了。。。。

坚持一种方法，达到

能够熟练做两位数的加法，减法

两位数的乘法

除数和被除数两位的除法

就差不多了

那些所谓的方法，

真的不重要

至少站到以后数学学习中不重要

=======================

像上面说的

我也不明白为什么纠结那样解方程

计算的目的

理解进制

求出结果——这个是数学的目的

方程的纠结

理解方程

求出结果

如果从理解方程的角度讲

想 x的系数是什么，常数项是什么

这个容易然后写成 ax=b标准形

然后求解

（这个思路对于代数也很重要，

人类对代数求解，从一次，二次，三次，四次，五次

直到群论的大门打开，

是人类千年对未知的探索，

所以写成标准式

正是代数的一本发展史）

或者学着写 x=（c-b）/a等类似的

就是用已经直到数表示x

这个也是代数学习的基础

因为最终目标是求出x

所以我不能明白为什么

学校纠结一定按照这个写法

求出x。。。。。

这个步骤还是最蠢得

唯一的的好处

一定可以求出。。。。。。

我明白等号的定义就是，

等式两边同时加减乘除是一样的

问题是

等号有property1， property2，property3.....

类似这边+移到那边-

为啥每次都要回复到最根本的定义模式求解

。。。。。。。。

如果数学证明每次都不从用已经知道的性质

而都一定用最根本的定义

那么数学史完全就不会发展。。。。。

哎，

我是不明白

美国中小学很多强求步骤/方法的教学。。。。

似乎与数学完全没有关系

只是创造了一种可以process的程序

可以跟着

这里仅仅止于小学和初中

echodrawing 发表于 2020-12-10 09:39

强re一下“数字的数学的基础是进制”这个观点。mm你娃才四岁，估计不讲这个吧？你觉得多大可以开始讲进制，2进制，16进制？

看的好焦虑。本来是学校的responsibility，现在又推给了家长。

你们有考虑从中国买数学课本来吗？照着中国的课本学如何?

momclub17 发表于 2020-12-10 09:41

仔细读帖啊，前面都说过了，提了日本法国的教材

谢谢你无私分享。这两天跟着你的这个帖子和隔壁4岁娃数学启蒙的帖子学了很多。 不知你知道analytic geometry 和 calculus 的经典教材有哪些？ 我更多的是找来自己看看。

昨天在网上乱搜的时，搜到一篇文章 The Third Mathematics Education Revolution 作者是Richard Askey ，文章写于1999年。里面作者引用一段话，这段话来自1962年由64位数学家签字的一篇关于高中数学教学的文章但作者认为仍旧值得一读：: Elementary algebra, plane and solid geometry, trigonometry, analytic geometry and the calculus are still fundamental, as they were 50 or 100 years ago: future users of mathematics must learn all these subjects whether they are preparing to become mathematicians, physical scientists, social scientists or engineers and all these subjects can offer cultural values to the general students, The traditional high school curriculum comprises all these subjects, except calculus, to some extent; to drop any one of them would be disastrous. 看来教什么怎么教一直有争论。只是轮到自己孩子就这几年。过去也就过去了。

这个帖子让我收获很多，感谢mm的无私分享。你说的关于中小学数学教育，60年代和当下的差距，我想学教育的mm可能更清楚。也许美国的数理化在那个年代曾经经历过“教育创新”，这个创新造成现在的结果，很可能矫枉过正，才有过去十年对stem的大力提倡。我们既然生活在这个年代，只好尽量适应。

我想请mm谈谈

1. 家长怎么给孩子创造有利于数学启蒙的环境？
2. 我想问的是如何启蒙，勾引好奇心，引导孩子欣赏数学的美感，提升学习的愉悦感。（我觉得做算数题，玩大富翁，等等，很多时候并不是启蒙，而简直是培养孩子对数学的讨厌感和孩子对自己数学无能的自厌。）
3. 成年后如果想梳理数学知识网络，加深对这个学科的理解（不止看见树叶而且能看见树林），请问有什么推荐的入门渠道/方法？不需要全面，能给个引子就好。